(a, b, c, d)→(|a-b|, |b-c|, |c-d|, |d-a|)問題
http://bit.ly/qkFoIp が解けたので証明書きます。
f(a, b, c, d)=(|a-b|, |b-c|, |c-d|, |d-a|)とする。証明したいのは、任意の自然数の組(a, b, c, d)に対して、自然数nが存在してf^n(a, b, c, d)=(0, 0, 0, 0)が成り立つこと。帰納法を使うと、任意の自然数の組(a, b, c, d)に対して、自然数nが存在してmax(f^n(a, b, c, d))
すると、b-a
すると、(b-a, b-c, |c-d|, |d-a|)=(b-a, b, d, |d-a|)。もしd>0ならば、Subcase 1.1によってよい。もしd=0ならば、(b-a, b, d, |d-a|)=(b-a, b, 0, a)→(a, b, a, |b-2a|)となり、Subcase 1.1によってよい。
Subcase 1.4. a=0 かつ c>0
すると、(b-a, b-c, |c-d|, |d-a|)=(b, b-c, |c-d|, d)~(d, b, b-c, |c-d|)。もしd>0ならば、Subcase 1.1によってよい。もしd=0ならば、Subcase 1.3によってよい。
Case 2. a=b=c=d
自明。
Case 3. a=c=b かつd0ならば、max(0, 0, b-d, b-d)=b-d
すると、max(0, b-c, |c-d|, b-d)
すると、(0, b-c, |c-d|, b-d)=(0, b, d, b-d)。Case 1.によりよい。
Subcase 6.4. c>0 かつ d=0
すると、(0, b-c, |c-d|, b-d)=(0, b-c, c, b)~(c, b, 0, b-c)。Case 1.によりよい。
Case 7. c=b かつ a, d
