well-foundedでない超べきに関して

書こうと思っていたところでかがみさんが。

かがみさんの日記 - 超巾と正則性

これで正解です。憶測の部分まで含めて正確です。これに加えて無限下降列の例が挙げられていれば文句なしですね(これは練習問題にしておきます)。
超実数を構成する方法はいくつかあるようなのですが、超べきによるものが代表的なやり方のはずです(耳学問で真面目に勉強したことがないので断言はできませんが)。そして、identity mapが超自然数となるのもご明察です。
これは覚えておくと簡単なミスを防げるとてもよい例だと思います。