集合論
前回: 3時間でわかった気になる強制法 その2-1 - くるるの数学ノートさてと、前回は名前とそれが満たして欲しい性質のことを書きました。今回はそれをどのように実現するかを書きます。例として、Pを前回最後に述べた、ωから{0,1}への有限部分関数全体の集合…
前回、単純にやろうとしたときにどのような問題があるかをみました。今回は解決篇です。あ、これはCohenがどうり思いついたかは無視して、こんなふうに発見していくのが自然かなという話をします。M をZFC の可算モデルとしましょう。これに新しい実数r を付…
本当はモデルって何とかそういうことを書かないといけないんですが、そういう面倒なことをきちんとやろうとしていると永遠に書かないまま終わりそうなのでとりあえず。それと、例によって例のごとくいろいろ間違えているかもしれないのでツッコミ歓迎。
さてと、そんなわけでZFCのモデルV上に、推移的で可算無限濃度をもちZFCのモデルになるような集合Nが存在する、というところまで来ました。本題に入る前にスコーレムのパラドックスのことを少し書いておきます。NはZFCのモデルなので、N上で非可算な集合があ…
うちの師匠は院生向けの集合論の授業で強制法についてしゃべったとき、前段のNについて、「があるじゃん。γをうまく取ればそうなるでしょ」と言ってました。ここで私はわりとシビレてました。Working mathematicianの感性として、「なんだかわからないけれど…
てなさくさんの指摘を受けて、以下の部分を大きく修正します。 細かいことは気にしないことにして、Con(ZFC+Con(ZFC) )を仮定することにします。すなわちZFC+Con(ZFC)のモデルVが存在します。どうやって、これをCon(ZFC)、すなわちZFCの無矛盾性のみから開始…
ずっと予告していたやつ、半分くらい書けたので少しずつアップします。その1、その2、その3がそれぞれ１時間ずつでわかった気になって３時間で完成という方針で。歴史的経緯は無視して、「今から考えると、こんなふうにして発見されるのが一番自然だよね」と…
正直なにがどうなってこういう表現になっているのかさっぱりわからないのですが、集合論に対する誤解が広まるのはできれば避けたいので。思想地図vol.5 - hiroyukikojimaの日記の中の話。星野伸明という人の論考に対するとても面白い紹介なのですが、一箇所…
ようやくわかりました。質問はこれ。 boar 2010/02/21 04:23 すみません、ちょっと離れた質問なんですが、アレフ１から連続体への単射で、具体的に作れる物（構成可能って言うんですか？）は存在しますか？ http://d.hatena.ne.jp/kururu_goedel/20060506/11…
これ、書いてみます。まあ、比喩なので完璧なものでないことは断っておきます。Twitter / kururu_goedel: genericっていうのは、ぶっちゃけ「ground mod ...例えば何かリーズナブルなプログラミング言語にオラクルとしてなにか計算不可能な自然数から自然数…
典型的な応用例として、descriptive set theoryのergodic theoryへの応用やら、I.FarahのC^*-algebraの話やら、Pestovの代数幾何？の話やらがあるわけですな。あ、もちろんgeneral topologyも。このあたりで巨大基数が絡めばいろいろ変わるかもなぁ、とか。
えーと、Twitter / t33f: 集合論って結局何がしたいのか根本的なところまで理解できてない ...に後でツッコミを入れると言ったやつなのですが(反応まで4ヶ月は私の場合標準)。よく考えてみると、私の考えが他の集合論者に共有されているわけでもないので、以…
http://d.hatena.ne.jp/Hide_and_Seek/20080907#1220789392はaleph naught(アレフノート)と読むのが一番普通です。とりあえず、私の周りの人はみんなそう言っております。
(元ネタ: アニオタが非オタの彼女にアニメ世界を軽く紹介するための10本)まあ、どのくらいの数の集合論オタがそういう彼女をゲットできるかは別にして、「オタではまったくないんだが、しかし自分のオタ趣味を肯定的に黙認してくれて、 その上で全く知らない…
なぜかミルカさんはともかく、「僕」やテトラちゃんまでKunenの第２章を読んでいるという謎な設定上ですが。長文注意。もう今日は疲れたので、細かい解説はまた後で。もしかしたらやらないかも（爆）。vvvv
現代集合論の紹介というときには、ほとんど常に「連続体仮説→ゲーデルのプログラム→Woodin的な研究→それに対比してShelah」という感じになってしまいます。それはとてもよい導入方法であるのは確かです。ゲーデルと20世紀の論理学 第四巻 集合論とプラトニズ…
とっくに書いていたと思っていて、でももう一回触れようと思っていたfive element basisの話、まだ一回もしてないんですか。ふぅ、こういうのの方をもっとやらねば。今日は（も？）時間はないのでざっくりとだけ書いて自分にプレッシャーをかけておきます。 …
えーと。更新頻度が低すぎてRSSにでも登録しない限り絶対に見ていられないといううわさのこのブログでありますが。 http://d.hatena.ne.jp/kururu_goedel/20061110/1163139074#cにつけられたこのコメントに対してエントリを立てるといってからもう半年以上た…
「ミルカさんにPCF」は半分本気でやれるのではと思っています。ですので誰か同人誌出してください（そこで他力本願かよ！）。しっかりと一つ一つを詰めてやればを理解するのはそんなに難しくはないはず（簡単とも時間がかからないとも言いませんが）。それを…
エントリ書いてアップしたつもりになっていたのに消えちゃいましたorz。というわけで、激しく手を抜きながら書き直してみます。モティベーションはおとなり日記経由で見つけたこれ→http://d.hatena.ne.jp/noneno/20070906/1189054603。このたぐいのことは、…
まだ連続体仮説の独立性がわかっておらず、巨大基数に関する研究もまだほとんど無い時期に、「独立性がわかったからといって連続体問題が解けたとはいえない」なんて言い切れるのはすごいです。その他の発言についても1990年代ぐらいになってようやく彼が意…
ゲーデルと20世紀の論理学 4 集合論とプラトニズムですが、とりあえず戸田山先生のを読んでみました。いや、門外漢の哲学の話から読んじゃおうかなと。Tony Martinの概念実在論(Conceptual realism)に関する論文は読んだことがあったので、割と腑に落ちまし…
んで、『ゲーデルと20世紀の論理学』第4巻でR.SolovayがNFのvariationの整合性の話をやっているというのでちょっと彼のページを見てみる。…なんですかこのMizarを使って自然数全体の集合と自然数のペア全体の集合の間にbijectionがあることを証明してみまし…
公理的集合論は完成したか？ - くるるの数学ノートで触れた『ゲーデルと20世紀の論理学』の第4巻ですが、出版されたようです。ゲーデルと20世紀の論理学 4 集合論とプラトニズム作者: 田中一之出版社/メーカー: 東京大学出版会発売日: 2007/07/24メディア: …
「…んなわけねーだろ！」というのが脊髄反射的な答えですが。 でも、そういう言葉が学校では教えてくれない数学のcalcさんから出てしまうあたりが、私たち集合論者のアピール不足かなぁとも思うわけです。ゲーデルと20世紀の論理学4 集合論とプラトニズムに…
学校では教えてくれない数学:位相空間ニッチな話になってしまうのでコメントにするのをやめて自分のところで。 集合論者がイメージするレベルでの「実数の構造」なんてのを書いていたら、紙一枚じゃ足りないどころの話じゃないです。Woodinのような最高クラ…
っていう有名な定理があるのですが、私が知っている証明はSilver indescerniblesとかを使うものだけです。なんかもっと初等的な証明ないかなぁとかちょっと考えたりしてみたのですがどうにも。何かよい方法はあるんでしょうか。上にあるの話もそれがらみで紹…
で実数体からの上射が存在するような順序数の上界を表すことがあります。もちろん選択公理がある場合にはとなってしまい面白くもおかしくもないわけですが、問題は選択公理がない場合です。特に上でがどのように振舞うかというのはよく研究されています。*1 …
宿題にしてから５ヶ月くらい経つのでぶっちゃけて書きます。 V=Lを仮定します。このときに、condensation lemmaと呼ばれる以下の事実を認めておきます:「任意の基数κとの初等的部分モデルMに対して、Mの推移崩壊はある順序数γに対しての形になっている」*1。…
とっくに紹介したつもりになっていました。Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence (Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, No. 8): Gregory H. Moore: 9780387906706: Amazon.com: Booksものすごく面…
