boarさんの質問に関して - kururu

ようやくわかりました。質問はこれ。

boar 2010/02/21 04:23 すみません、ちょっと離れた質問なんですが、アレフ１から連続体への単射で、具体的に作れる物（構成可能って言うんですか？）は存在しますか？
http://d.hatena.ne.jp/kururu_goedel/20060506/1146893913#c1266693801

構成可能という言葉はちょっと曖昧ですが、だいたい $L(\mathbb{R})$ に存在するということで良いでしょう。 $L(\mathbb{R})$ はすべての実数と順序数を含むようなZFの最小のモデルです。まあ、少なくとも普通の人が構成可能だと認めるようなものならこのクラスに入っています。んで、 $\aleph_1$ から $\mathbb{R}$ への単射で $L(\mathbb{R})$ に入るようなものが存在することはZFCと整合的です。なぜって、V=Lを仮定すれば $L(\mathbb{R})=L$ だからです。
それじゃあ、逆にそういうものが存在しないようなZFCのモデルは存在するかということですが、少なくとも巨大基数を仮定すれば存在し得ます。Raisonnierという人の定理によると、ZF上で整列可能な実数の集合で非可算なものが存在すれば、Lebesgue非可測なものが存在します。というわけで、 $L(\mathbb{R})$ が「実数の集合は全てLebesgue可測」を満たすようなものならば、 $\aleph_1$ から $\mathbb{R}$ への単射は存在できません。この前者の条件をみたすようなZFCのモデルは、実数の集合が全てLebesgue可測になるようなモデルから出発して、実数を付け加えずに実数を整列するような強制法を使ってやれば、新しいモデルの中での $L(\mathbb{R})$ は元のモデルのサブクラスで全ての実数を含むようなものになるので、「実数の集合は全てLebesgue可測」を満たします。これも嘘だったなぁ。まあ普通に実数の集合が全てLebesgue可測になるようなモデルを構成すれば、外側には全ての実数を含むZFCのモデルがあるのでそれでOK。そして、「実数の集合が全てLebesgue可測になるようなZFのモデル」が到達不可能基数から構成出来るというのは~~Shelahの定理~~Solovayの結果でした、すみません。てなさくさん、ありがとうございます。。
たぶんこれはこれでいいんだと思うんですが、巨大基数は必要なんですかねぇ。Permutationモデルみたいなのでやろうとすると、コアの方に整列可能な実数の非可算集合ができないように気をつけないといけないのでちょっとわりとやっかいっぽいです。選択公理が無い世界は苦手なのでよくわからん。

間違いとかもっと簡単なやり方とか巨大基数を使わないやり方あるいは巨大基数が必要なことの証明とか、いろいろ情報募集中です。