集合論
この前の記事に対して選択公理が黒魔術っぽいなんてコメントがついていたのですが。どうもこのあたりに関して一般の人の認識と私たちの認識がずれているような気がします。 選択公理が「正しいか正しくないか」「採用するべきかしないべきか」という方向で議…
diamond-plusがどうのってやつの続き - くるるの数学ノートひとまず書き終わって見直し中。やれやれ。
Vではなく、集合や内部モデルに対して強制法を適用する場面はかなりたくさんあります。 実数を付け加えないproper forcingでは、拡大の中にある可算集合は既にground modelに存在しています。ですので、拡大の中の可算モデルはground modelの可算モデルのgen…
強制法の二つの見方 - くるるの数学ノートの続きというか。私の指導教諭が集合論の授業で強制法の導入についてこんなことを言っていたを思い出します。 連続体仮説の否定がZFCと整合的であることを示すことを考えよう。コンパクト性定理があるから、ZFCの任…
強制法についてのひとりごと - かがみさんの日記結局両方できた方が良いというのは確かなのですが。ブール代数値モデルを含めるともう一つですね。使うっていうことだけを考えれば、「全ての半順序に対してそれに対するgeneric filterが存在するような最小の…
あ、題名にmimetexを使うとRSSとかに出なくて気持ち悪いのでこうしておきます。 の特徴づけ - くるるの数学ノートで続いているお話ですが、これももう少しちゃんと書き直しておこうかなと思います。 というか、が特殊だという例はたくさんあります*1。代表的…
連続体濃度がアレフ２より大きくなって欲しくない理由 - くるるの数学ノートid:w2allenさんにコメント欄で質問を受けたのをこちらに持ってきます。 今の話を身近な数の世界で考えると、アレフ０は自然数の濃度、アレフ２は実数の濃度となります。そして、ア…
もろもろの成り行きで、ADを仮定するとがmeasurableになるとかそういうのの証明を読んでいます。次の節はADからWoodin cardinalの整合性が出るってやつです。割と普通に読めて嬉しいんですが、ふと我にかえるとclub filterがultrafilterってどういうことよ、…
fine structure argumentがforcingに見えてくる瞬間 - くるるの数学ノートこういう話をした直後に、やっぱりdiamond-plusから行けそうな気がしてくるってのはどういう現象なんでしょうか？まあ、やりとりがあると脳が活性化するとか言う無難な線で納得しよう…
mixi某所で少し書いたことの拡張版をこちらに。V=Lというモデルが最小であるという仮定を使った議論と、モデルを拡大するforcingが似たように見えることがあるというお話。具体例はちょっと書けませんが、ある条件を満たすtopological spaceを強制法で構成し…
かがみさんの日記 - 可測基数と弱コンパクト基数(再挑戦)たぶん問題はないと思います。 これを、「κがweakly compactだっていうのはの中で書けるから、が同じなら問題なし」で納得できるようになったら直感がついてきた証拠ではないかと。
可測基数と弱コンパクト基数未だにばたばたしているので手短に。大穴は開いていないと思いますが、微妙な間違いが一つ。それに、大きな回り道をしているところが二箇所ほどあると思います。ビール飲みながらなので完全に保障はしませんが…。 シンクロニシテ…
ShelahはPC、WoodinはMacだそうで。Woodinの理論はそういう人じゃないと使えないけれども、Shelahのアイデアはわりと誰でも使えるということで。
かがみさんの日記 - Scottの定理・可測基数とL 初等的埋め込みが存在すればです。さらに初等的埋め込みは存在しないことが知られています(Kunen 1971)。 細かいですが、正確には「定義可能な」という言葉が必要です。はLの中から見ればなわけで。
そういえば、定義可能なクラス関数が初等埋め込みであるというのはZFCの論理式では書けないんですよね。正確に言えば、集合論の言語では。にもかかわらず、集合論の議論では初等埋め込みがめちゃくちゃ頻繁に使われるというのは、数学が形式的に行われている…
かがみさんの日記 - Scottの定理・可測基数とL かがみさんの日記 - 弱コンパクト基数がいっぱい見たところ問題ないと思います。えーと、人任せばかりでも良くないと思うので、以下の定理を証明しておきます。 非自明な初等埋め込みj:V→Mが存在するならば、可…
書こうと思っていたところでかがみさんが。かがみさんの日記 - 超巾と正則性これで正解です。憶測の部分まで含めて正確です。これに加えて無限下降列の例が挙げられていれば文句なしですね(これは練習問題にしておきます)。 超実数を構成する方法はいくつか…
かがみさんの日記: 巨大基数の集合論(The Higher Infinite)良い本だと思います。っていうか、私のバイブルです。英語の方ですが。私の師匠はちょっと保守的過ぎるとか言ってますが。書いてある部分はとても親切に書いてあると思います。KunenとかJech(昔の)…
transitive collapse - くるるの数学ノートかがみさんとさかいさんにもプレッシャーをかけていただいたので、手短に終わるほうから。数理論理学でのとても有用なテクニックに超べきというのがあります。とても一般的に定義できるのですが、ここでは集合論で…
うわ、結城さんにお願いされてしまってます。日記は楽しく拝読しています。プログラミングのことはよくわかりませんが、作業への取り組み方などがとても参考になります。 追記：はてなブックマークに「集合論者にとってはωは偶数なんですが。」というコメン…
正則性公理 - くるるの数学ノートの続き。早速酒井さんにツッコまれました(ヒビルテ(2006-06-08))。id:nucさんからも返答が([不動点 - 白のカピバラの逆極限 S.144-3)。id:yoriyukiさんもAczelを挙げています。恥ずかしながらAFAを知らなかったのでググって…
というわけで、アルファブロガーになれるかどうかはとにかく正則性公理。型付ラムダ計算 - 白のカピバラの逆極限 S.144-3 それと型がつけられるかということがどうも正則性公理と関わっている気がして、この公理ってないほうが楽しくないかな。 haskellもプ…
コーヘン・連続体仮説 続コーヘン・連続体仮説連続体仮説実は邦訳を持っています。連続体仮説のことを初めて知った高校時代に買って、読もうとして挫折して、その後は放置してあります。その頃は群って言う言葉が何をさしているのかさえ知りませんでしたから…
勝手に一般化してみる - Red cat の数学よもやま話id:redcat_mathさんのトラックバックに脊髄反射。おそらく、に関してはが一番自然だと思われているだろうと思います。これに関しては連続体濃度と絡むのでいずれ。 それより大きいものとなると、まだ全然手…
飛ばし読みしてみましたが、特に新しい点は見当たらず。ゲーデルがを妥当だとみなした理由についてのヒントが知りたかったんですが、この文章では連続体仮説を否定する方()に関してしか触れていませんでした。 いずれにしても、今週中には連続体濃度ネタの続…
かがみさんという数学にとても興味をもち愛しておられる方がいらっしゃいます。集合論雑記集合論の基礎から強制法の初歩がわかりやすくきちんと記述されています。日本語で書かれた強制法のきちんとした(証明つき)入門というのは寡聞にして知りません。 以前…
もちろん、｢連続体濃度が」というのは満場一致のコンセンサスが得られているわけではありません。例えばShelahに言わせれば「連続体問題はbad boyだから解けない。正しい問題は、などを考えることだ」となります。どこかの論文でそれに近いことを言っていた…
全順序集合 - くるるの数学ノート もう少し詳しく書いてみる(その1) - くるるの数学ノート もう少し詳しく書いてみる(その2) - くるるの数学ノート もう少し詳しく書いてみる(その3） - くるるの数学ノート前回、「これでいけるのか、っていうのがちとわから…
もう少し詳しく書いてみる(その2) - くるるの数学ノートのまた続き。前回は、以下の予想のうち「自己稠密」っていうのが十分強くないという話でした。 この性質をで上記の性質を表すことにしました。 κを無限基数とする。自己稠密で、最大元、最小元が存在せ…
もう少し詳しく書いてみる(その1) - くるるの数学ノートの続き。今考えているのは、以下の予想の反例です。 κを無限基数とする。自己稠密で、最大元、最小元が存在せず、濃度がκの稠密集合を持ち、cut-completeで、濃度がな全順序集合は同型を除いてひとつし…
