fine structure argumentがforcingに見えてくる瞬間

mixi某所で少し書いたことの拡張版をこちらに。V=Lというモデルが最小であるという仮定を使った議論と、モデルを拡大するforcingが似たように見えることがあるというお話。

具体例はちょっと書けませんが、ある条件を満たすtopological spaceを強制法で構成した後にV=Lを仮定して構成する、というのを何回かやっているんです。今のところ、 $\diamond$ とかのvariationには落とせていません(逆も証明できていませんが、多分普通のcombinatorial principleからは構成できないだろうと考えています)。この二つの構成が、本質的に同じものに見えるんです。

例えば、realを付け加えないproper forcingで $\omega_1$ のsubsetを付け加えることを考えてみます。するとこのときにやっているのは、「可算個の条件に対して十分な部分解答を出せるならば、Vに存在する類似した全ての条件を満たすような全解答をもつようなモデルを構成できる」ということです。これと同じことが、V=Lを仮定して $\lt_J$ -minimalな要請を $\lt_J$ -minimalな方法でやっつけていく、という形で実現できたりするわけです。*1
ものすごく単純な例を出せば、Suslin treeを $\diamond$ から構成する場合とcountably closedなforcingで構成する場合を考えてもらえばイメージできるかと思います。この場合には後者が $\diamond$ を付け加えちゃっているだけと考えられるので、不思議な点はありませんが。
単に私が気付いていないだけで共通した記述方法があるのかもしれませんが*2、今のところは不思議だなぁと思っている次第です。

正直自分の中でもまとまってない話なのでごちゃごちゃしていますが、とりあえずさらしておきます。

*1:もちろん、細かいつじつまあわせがたくさんあってここまで簡単にはいきませんが。

*2:Vellemanが古典的な結果に対して、「要するにキーになるcombinatorial principleがV=Lからもforcingでも証明できるからなんだよ」って主張するような論文書いたりしています。コピーはしましたが未読。