初等埋め込みと可測基数 - kururu

かがみさんの日記 - Scottの定理・可測基数とL
かがみさんの日記 - 弱コンパクト基数がいっぱい

見たところ問題ないと思います。

えーと、人任せばかりでも良くないと思うので、以下の定理を証明しておきます。

非自明な初等埋め込みj:V→Mが存在するならば、可測基数が存在する。

非自明なというのはidentityでないというだけの話です。
$j:V\rightarrow M$ を非自明な初等埋め込みとします。κをjのcritical pointとします。κ上のfilter Uを以下のように定義します: κの部分集合XがUに属するのは、 $\kappa\in j(X)$ が成り立つときである。j(X)はj(κ)の部分集合なのでκが入っている可能性は十分あるわけですね。
Uがκ完備な超フィルターであることをさくさく証明します。V上で $\forall x (x\not\in\emptyset)$ が成り立つので、M上で $\forall x (x\not\in j(\emptyset)$ が成り立ちます。ですので、 $\kappa\not\in j(\emptyset)=\emptyset$ なので $\emptyset\not\in U$ となります。
$A\subseteq B\subseteq\kappa$ かつ $A\in U$ だとします。定義より、 $\kappa\in j(A)$ が成り立っています。elementarityより $j(A)\subseteq j(B)$ が成り立つので、 $\kappa\in j(B)$ が言えます。
$A, B\in U$ を仮定します。すなわち、 $\kappa\in j(A)$ かつ $\kappa\in j(B)$ です。というわけで、 $\kappa\in j(A)\cap j(B)$ となります。elementarityより $j(A)\cap j(B)=j(A\cap B)$ なので、 $\kappa\in j(A\cap B)$ すなわち $A\cap B\in U$ が言えます。
$A\subseteq\kappa$ とすると、 $A\cup(\kappa\setminus A)=\kappa$ なので、 $j(A)\cup j(\kappa\setminus A)=j(\kappa)$ となります。ですので、 $\kappa\in j(A)\cup j(\kappa\setminus A)$ です。というわけで、 $\kappa\in j(A)$ もしくは $\kappa\in j(\kappa\setminus A)$ が成り立ちます。すなわち、 $A\in U$ または $\kappa\setminus A\in U$ が成り立ちます。
non-principalは、まあいいでしょう。空集合のときと変わりません。
$\gamma\lt\kappa$ とし、
$f:\gamma\rightarrow U$ を関数とします。このとき
$\bigcap_{\alpha\lt\gamma}f(\alpha)\in U$
をいいます。 $j(f)$ について考えてみます。 $f$ がγを定義域とする関数なので、 $j(f)$ は $j(\gamma)$ を定義域とする関数です。κがcritical pointでありかつ $\gamma\lt\kappa$ なので、 $j(\gamma)=\gamma$ となり、 $j(f)$ はγを定義域とする関数です。 $\xi\lt\gamma$ のとき、 $f(xi)=A$ とすると $(j(f))(\xi)=j(A)$ が成り立ちます。AはUの元なので、 $\kappa\in j(A)=(j(f))(\xi)$ が成り立ちます。V上で
$\forall x(x\in\bigcap_{\xi\lt\gamma}f(\xi)\Leftrightarrow\forall\xi\lt\gamma(x\in f(\xi)))$
が成り立ちます、というか定義です。elementarityにより、
$\forall x(x\in j(\bigcap_{\xi\lt\gamma}f(\xi))\Leftrightarrow\forall\xi\lt\gamma(x\in (j(f))(\xi)))$
が成り立ちます。ですので、
$\kappa\in j(\bigcap_{\xi\lt\gamma}f(\xi))\Leftrightarrow\forall\xi\lt\gamma(\kappa\in (j(f))(\xi)))$
となります。が、右側が成り立っているので左側も成り立っているということになりますね。というわけで、 $\bigcap_{\xi\lt\gamma}f(\xi)\in U$ が成り立ちます。
ついでにnormality。 $f:\kappa\rightarrow\kappa$ を退行的関数とします。すなわち、 $f(\alpha)\lt\alpha$ が全てのαについて成り立っていると仮定します。このとき、全ての $\alpha\in A$ に対して $f(\alpha)=\beta$ となるような、 $A\in U$ と $\beta\lt\kappa$ が存在することを証明すれば十分です。
M上で $(j(f))(\kappa)=\beta$ を考えます。fは退行的なので、 $\beta\lt\kappa$ となります。κはcritical pointなので、 $j(\beta)=\beta$ が成り立ちます。Aを $f(\alpha)=\beta$ が成り立つような $\alpha\lt\kappa$ 全ての集合とします。このとき、j(A)は $(j(f))(\alpha)=j(\beta)$ が成り立つような $\alpha\lt j(\kappa)$ 全体の集合となります。 $j(\beta)=\beta$ かつ $(j(f))(\kappa)=\beta$ なので、 $\kappa\in j(A)$ となり $A\in U$ が言えます。