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集合論

Vではなく、集合や内部モデルに対して強制法を適用する場面はかなりたくさんあります。

  • 実数を付け加えないproper forcingでは、拡大の中にある可算集合は既にground modelに存在しています。ですので、拡大の中の可算モデルはground modelの可算モデルのgeneric拡大と見ることができます。
  • j:V\rightarrow Mを初等埋め込み、Pを半順序、GをPのV上generic filterとします。このときに、jを\tilde{j}:V[G]\rightarrow M[H]といったふうに拡大できるかが問題になることが多くあります。Hはj(P)のM上generic filterですね。この状況で、HがV[G]の中で構成できるケースがあります。そうなるといろいろと嬉しいわけです。
  • Woodinの\mathbb{P}_{\text{max}}とかいうのもそういう話らしい。ちょっとしか勉強してないのでよく知りませんが
  • あ、あと十分にたくさんの巨大基数があると、VはL(R)の強制拡大になるとかいうのがWoodin本に出ていたような。この場合もgeneric filterはVの中にあるわけですな。

こういうときには外から見るのが本質的なので、強制関係よりもgeneric拡大の方が役に立つわけです。もっとも、強制関係のような内包的な見方が必要になるケースとしても

  • 名称の個数を数えたりなんてのは必須
  • 逐次強制法はgeneric filterを並べて付け加えていくという形では表現できない(極限ステージで困る)
  • 強制関係を下に反映するなんて議論もある

などあるわけで。まあ要するに両方ですという結論は変わらず。