等式系の問題

Uniquely satisfiableだが止まらない再帰定義 - 続き - yoriyukiの日記

id:yoriyukiさんが以下のような問題を提案していました。

等式系{αi}i∈Iで、各αiは計算可能関数eiで一意に満たされるのだがei=f(i)なる計算可能関数fは存在しないような{αi}i∈Iは存在するか。
という形になるでしょう。ただし、問題を無意味にしないためにiからαiへの写像はやはり計算可能とします。

固定された整合的で帰納的に定義可能な公理系Γが存在して、全てのiに対してαiがeiで満たされていることがΓで証明できるなら、証明図を片っ端からチェックしていくことでeiを見つけてやることができると思います。
もし整合的で帰納的に定義可能な公理系で証明できないなら、もうほとんど証明できていないと一緒だと思いますので、上記の解答が計算量を抜きにすれば上限かと思います。
んで、計算量を抜きにすれば、上記のアルゴリズムはすぐに実装できて、例えばたらいまわし関数をコンパイルすると最初からclosed formが出てくるような超絶コンパイラが作れる、と。もちろん、これは自動証明器が作れるのと同じくらい現実には役に立たない議論ではあります。