2011年04月08日のツイート
@kururu_goedel: @MarriageTheorem これは、他の人からパクったスタイルファイルによるものです。ジャーナルによっては変更させられますけれども。
@kururu_goedel: @ystt 大丈夫ですよ。多分、人生どの道選んだって大変なところは大変ですし、とりあえず直ちに健康に影響はないレベルです。
2011-04-08 23:14:28 via Seesmic Desktop to @ystt
@kururu_goedel: @night_in_tunisi えーと。それのどこがシュールなんですか？有り金全部＋保険金残せって少なくとも毎週言われてますが。
@kururu_goedel: リアルユーリちゃんとリアルリサちゃんはもう少し後になるそうです（だから……)
@kururu_goedel: @hyuki お、ついに「こんな女の子いねーよ」というツッコミに対抗するべく最先端のバイオテクノロジーを結集して作られたリアルミルカさんとリアルテトラちゃんが発表されるのですね（飛ばしすぎです>自分）。
2011-04-08 22:36:12 via web to @hyuki
@kururu_goedel: 一念発起してTodorcevicの"Trees and Linearly Ordered Sets"コピーした。今からスキャンしてEvernoteにぶちこむ
@kururu_goedel: やべー、可算集合は測度0、非可算集合は測度∞とかいうふざけた測度を除けてねーよ。あとで直そう。
@kururu_goedel: @patho_logic Iκλって何でしたっけ。…明日自分で調べよう
2011-04-08 15:19:29 via TweetDeck to @patho_logic
@kururu_goedel: @patho_logic 修正済みだった。師匠が、「こんなに基本的なことが、こんな時期までわかってなかったなんてembarrassingだけど」とかいいながら紹介していたので、あれが最初だと思います。
2011-04-08 15:00:09 via TweetDeck to @patho_logic
@kururu_goedel: @patho_logic あれ？Matsubara-Shioyaの定理って、Pκλ上のbounded idealがprecipitousでないってやつではないんですか？
2011-04-08 14:57:24 via TweetDeck to @patho_logic
@kururu_goedel: @tenapi その辺は適切に運用してもらえると信じたいですね。
2011-04-08 11:55:18 via TweetDeck to @tenapi
@kururu_goedel: @tenapi どんな形であれpublishしたらacknowledgeすべしということになっていて、注釈にはウェブサイトに載せるのもpublishとみなすと書いてありました。プロジェクトの成果であるかというところに疑問はありますが、付けておいたほうが無難かと。
2011-04-08 11:03:48 via Seesmic Desktop to @tenapi
@kururu_goedel: @tenapi ありがとうございます。すみません、typoは明日にでも潰します……。
2011-04-08 11:01:07 via Seesmic Desktop to @tenapi
@kururu_goedel: いくらなんでもTL汚しすぎたので、Lebesgue不可測な集合の構成の証明書きました。変態でない限りあのTeXコマンドを脳内タイプセットするのはきついでしょうし。一発書きで見直してません。ツッコミ大歓迎。URL
@kururu_goedel: それでは出発。
@kururu_goedel: 掃除しろっていえばいつでもやるのになぁ。こっちから言うと、「うるさいからやるな」「寒いんだから夜やるな」とか言われるし。
@kururu_goedel: 家に戻って怒鳴られて、午後７：３０?９：４５まで授業やって、帰ってきてまた怒鳴られるだけの簡単なお仕事。
@kururu_goedel: なんか携帯のバッテリーがいつのまにやらやばいんですけど。
@kururu_goedel: この証明は、選択公理を採用することに激しく反対していたルベーグが、本でも講義でも使っていたということでも有名ですが、まあルベーグはフルの選択公理に反対していただけで、ここで使われる弱い選択公理は問題ないと思っていたということにします。
@kururu_goedel: これを見てわからなかった人は、多分私の書き方が悪いせいなので、どこかでルベーグ測度のことを書いてある本かなんか探してください。以上。
@kururu_goedel: （問題）ここで使われたルベーグ測度の性質を挙げてください。
@kururu_goedel: いくらリハビリだからってわかりにくすぎるぞ。まあとりあえず、書き切ってはいるからいいや。こんな感じ。
@kururu_goedel: ω倍が収束するための必要十分条件は、mが０であること。そのとき、mのω倍は０。ところが、[0, 1)の測度は１ですね。ってわけで矛盾です。
@kururu_goedel: ところがルベーグ測度の可算加法性により、ここから[0, 1)の測度は、[0, 1)に属するような有理数qに対するX_qの測度の和になります。つまり、mのω倍ですね。
@kururu_goedel: それと、Xの定義により[0, 1)はX_q (qは[0, 1)に属する有理数）の和集合になります。式で書くと[0, 1)=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}\cap[0, 1)} X_q。
@kururu_goedel: Xをルベーグ可測だと仮定しましょう。測度をmとでもしておきましょうか。明らかにX_qの測度もmですね。切り貼りしただけですから。
@kururu_goedel: あってた、再開
@kururu_goedel: あ、ちがったやりなおし
@kururu_goedel: そこで任意の有理数qに対して「X_q=\{x+q : x+q<1\}\cup\{x+q-1 : x+1\geq 1\}」で定義します。つまり、Xをqの分だけ右にずらして、1より大きくなっちゃったらその越えちゃった分を切って原点のところに置き直すわけです。
@kururu_goedel: すると、[0, 1)に属する任意の実数rに対して、r-xが有理数になるようなXの元xがちょうどひとつ存在することが言えます。ちなみに選択公理は代表元をまとめてとってくるところで使います。
@kururu_goedel: 一次元ルベーグ非可測集合の存在証明。[0, 1)に「a?b iff a-bは有理数」で同値関係を入れる。それぞれの同値類から一個ずつ代表元をとってXって集合を作る。
@kururu_goedel: とりあえずこの辺でひとまずやめておきます。とりあえず、仕事が出来る程度には落ち着いてきたような気もするけど、やっぱり落ち着きませんが。
@kururu_goedel: アロンシャイン木の存在とアロンシャイン直線の存在は同値であることが証明できます。って両方ZFCから証明できるんですが、まあとりあえず。というわけで、アロンシャイン木が作れるかが問題。
@kururu_goedel: そして、アロンシャイン木とは、長さ\omega_1の整列部分順序を持たないような\omega_1木のことを指します。あー、これももう少しきれいなやつに限定する定義のほうが普通かもしれませんがこれで行きます。
@kururu_goedel: 上があんまり重そうじゃない高さが\omega_1の木を\omega_1木と言います。つまり、ある高さには可算個の枝しかないというのが定義。あれ、任意の元が任意の高さまで伸びているとか、ブランチしているとかは普通入れるんだっけ。まあその辺は流儀もありますので。
@kururu_goedel: また、任意の可算順序数\alphaから2 (すなわち{0, 1})への関数全体の集合をTとして、p\leq qを「pはqの延長である」で定義するとこれも木になります。高さ\omegaで枝の数が連続体濃度です。重そうで倒れそうですね。
@kururu_goedel: 例えば、\omega_1は木です。この定義では。幹しかないですね。木に見えません。というか、全ての整列順序集合は木です。とても自明な。
@kururu_goedel: 集合論における木は、半順序集合(P, \leq)で全てのPの元pに対して{q : q\leq p}が整列順序になるようなものを言います。グラフ理論の木とはちょっと違うので注意。
@kururu_goedel: アロンシャイン直線の存在証明にも木を使います。アロンシャイン木。安直ですね。
@kururu_goedel: （集合論クラスタ各位へ）なんで「ススリン直線はアロンシャイン直線です」とここで書かなかったのかを説明してみましょう。その上で、この前のススリン直線の話にツッコミましょう。
@kururu_goedel: そういう全順序集合のことをアロンシャイン直線といいます。そして、ススリン直線は常にアロンシャイン直線を部分集合として持ちます。
@kururu_goedel: これがZFC上で存在すると証明したのがAronszajn。実は、私がポスドクやっていたところの大学に属していたこともあるし、今在籍しているところにはその弟子がつい最近までいました。なんかちょっと因縁があるっぽいです。
@kururu_goedel: とりあえず、「本質的に」をごまかさないで書くと「非可算全順序集合Lで、Rの非可算部分順序、\omega_1、-\omega_1と同型な部分順序を持たないものがあるか」というものになります。
@kururu_goedel: @timewalker_sa ルベーグ測度について書いてある本なら確実に一次元の不可測集合の作り方が書いてあるはずです。むしろ書いていない本があったらぜひ教えてください。
@kururu_goedel: ここで本当ならbasisって概念を持ち出すんですが、一般化すると面倒なのでやめます。興味がある人は『数学』のサーベイにて。
@kururu_goedel: 最初に「本質的に」というのをどうとるかってのがありますね。例えば、実数直線の後ろに\omega_1くっつければ新しい順序集合が作れます。けど、全然本質的じゃないですよね。
@kururu_goedel: 本質的に、この三つ以外に何があるかっていうのが、今回の問題。
@kururu_goedel: この三つに関しては、その部分順序も含めてとてもきれいな特徴付けが出来ます。実数直線の部分順序は可分、\omega_1の部分順序は整礎、-\omega_1の部分順序は、えーと、逆整礎でいいのかな。無限上昇列を持ちません。
@kururu_goedel: それに加えて、\omega_1のリバース"-\omega_1$"も考えられます。リバースは要するに順序の方向をひっくり返したもの。1\leq\omegaなので"\omega\leq_{-\omega_1} 1"とか
@kururu_goedel: あー。念のため、ツッコミ歓迎ね。
@kururu_goedel: 非可算の全順序を挙げよ、って言ったら真っ先に実数直線と\omega_1が浮かぶと思います。
@kururu_goedel: 気持ちを落ち着けるためにAronszajn lineの話でもしよう。
@kururu_goedel: @timewalker_sa いえいえ、一番簡単には一次元のルベーグ不可測集合作って、それと[0,1]の積をとれば作れます。
@kururu_goedel: @hidetomitanaka 「未知の人に」については他の文章との絡みで誤解しました。申し訳ありません。以降、二度とどのような文脈であれ田中先生の文章などに触れることはいたしません。
@kururu_goedel: @hidetomitanaka 全面的に謝罪しているつもりですし、もう一度謝ります。申し訳ありませんでした。
@kururu_goedel: 単に「踏まえて」ほしいと言っただけで、参考にするなとか一言も言ってないのですけれども……。あと、田中先生に向けて文章書いたのはこれが初めてなはずなんですが、なんか前にやりましたっけ。
@kururu_goedel: @hidetomitanaka わかりました。申し訳ありませんでした。
@kururu_goedel: 単に、この文書は平井氏が書いたものとは言いがたいし、不正確な部分も多いという補足をしておいたほうが良いのではないかと思っただけなのですけれども。
@kururu_goedel: なんだか田中先生にすごく怒られてしまいました。確かにTLにあったRTをみて日付を見ずに脊髄反射的に反応してしまったのは申し訳なかったし、TL全部追っているわけではないからどこかでこの文書の由来の不確かさについては触れていたのかもしれない
