[0, 1]以外でホモトピー妄想

ここのところ、空き時間はずっとアロンシャイン直線、もっと正確にはアロンシャイン連続体のことを考えていたので、頭が変なモードに入っていろいろ妄想しているわけですが。

あ、アロンシャイン直線というのは、非可算可分全順序(つまり実数直線の非可算部分順序)も、非可算整礎順序も、非可算逆整礎順序も、部分順序として持たないもの。ZFCでそういうのが作れるっていうのがアロンシャインの結果。アロンシャイン連続体というのは、アロンシャイン直線を完備化してできる全順序。きれいな特徴付けがあるんだけど忘れた。混乱しやすいというか、私自身混乱していたのは、アロンシャイン連続体は実数直線を含むということ。でも、実数直線とは全然違ってきます。

考えている問題は、アロンシャイン連続体の有限直積を考えたとき、それにcoordinate-wiseでないような、autohomeomorphismがあるか、っていうもの。多分ないことが証明できる。そのことから、アロンシャイン連続体は位相群にならないことが言えるのだけれども、それはもう誰かやってそうですな。その最中で、closed pathとか局所的に定数とかそういうのを考えないといけなくて、微分とかできたっていいじゃんとか思い始めて、そのながれでホモトピーが。

ホモトピーの定義って、つまりはある曲線が、違う直線に、連続的に変化させられるというのを表現するものだと思うわけですよ。その連続的に変化というのを表すために、[0,1]を使うわけですね。

でも、[0,1]である必然性ってどのくらいあるかなと思うわけですよ。例えば、Kをアロンシャイン連続体として、が連続ならば、f_0(x)=H(x, min K)とf_1(x)=(x, max K)って十分ホモトピックじゃないかと思うわけですよ。とりあえず、K-ホモトピックとでもいっておきましょうか。

ホモトピックでないけどK-ホモトピックじゃない曲線のペアがある例は簡単に作れて、X=[0,1]でKはアロンシャイン直線とすると、Yはとすると、f_0(x)=(x, min K)とf_1(x)=(x, max K)はホモトピックじゃないけどK-ホモトピック。

ってくだらねー。

ただ、このくだらない例を本質的に越える例が本当にあるかがわかりません。前述の問題が本当に解けるなら、それと同じような議論でかなりきつい制約がありそうですが。

そもそも曲線って

曲線というのも単に連続的に一次元で動いているってだけなのだから、[0,1]じゃなくてもいいような気がします。それを拡張してなにかいいことがあるのかはわかりませんが。

予想

多分、最終的にはKが[0,1]と同型でないかぎりなにもできないに等しいってことになるんじゃないかなと予想しています。それはそれでいいかなとも思いますが。

ツッコミ大歓迎

いや、下手したら「そんなのすでに誰々がやっているよ」とかなるかもしれないとか思うのですが。そもそもホモトピーとか全然わからないので、……。