5分間、Aronszajn treeのことについて書き散らすスレ

スレじゃないって。

Kunenを最初に読んだときに、Aronszajn treeはSuslin treeの前段階だと思ってしまい、その後Aronszajn treeの深さに気づくまでに恐ろしく時間がかかったので、罪悪感がある
実数の非可算部分順序も $\omega_1$ も $-\omega_1$ も埋め込めない非可算順序をZFC上で作ったというのはとてもよい結果なので、そういうふうに宣伝しながら教えるべき対象。
証明も「無限列に有限の修正を加えながら云々」みたいなよくある筋がきれいに出てくるので嬉しい
あ、上の｢証明」は多分今では一番ポピュラーな、それぞれの $\alpha\lt\omega_1$ に対して $f_\alpha:\alpha\rightarrow\omega$ をcoherentに作っていくやつね。
本当はminimal walkを使った証明がビューティフルなんでそれを宣伝するべし。
なんというか、21世紀の集合論の教科書にはminimal walkとPCFへの導入がついているべきだと思う
激しく脱線。
すでに6分経過。
special Aronszajn treeという言葉は、「全てのAronszajn treeがspecial」が整合的なのであまり賢くなかったなと後付で思う
specialの話も面白い。
元々の証明で出来るAronszajn treeみたいのはuniformという性質をみたしていてどうたらみたいな。
Todorcevic先生のLipschitz treesという論文がとても面白そうだったのに、読むのを中断して数年経過中。
15分経過。ダメじゃん。
もうすでに、「これを書くにはおれっち役不足すぎじゃん」と激しく後悔。
$\omega_1$ って別にabsoluteなわけでもないのに、Aronszajn treeの存在が証明できるのはやっぱり不思議。
club guessingとかscaleとかもそう。ZFCのモデルはforcingでいくらでもいじれるのに、必ずしもdefinabilityが高くないような構造が、なぜか全てのZFCのモデルに存在している。
Woodin的な巨大基数を使って「正しい」モデルに近づけるという方向性ではなく、全てのZFCのモデルに共通したしかしnon-trivialなものってなんだろうみたいな。
そういうのの先駆けの先駆けがAronszajn treeだったんじゃないかなぁと思うわけですよ。
ここまで書いておいてnatural structureとか言い出さないのはむしろ不自然なわけで、もう特定されるの覚悟で書いておいてみる
というわけで、役不足